Boa noite.
Parece que consegui resolver o problema de vez. Caso alguém passe por uma situação semelhante, fica aqui a minha solução.
Como eu tinha dito, a fonte de alimentação / carregador original do meu portátil tinha-se estragado.
Decidi então comprar uma fonte nova, daquelas universais, com a potência de 90W (adequada ao meu portátil que necessitava de uma alimentação de 19V e 3,95A (max)), com saida numa gama de tensões entre 16V e 20V , regulada
automaticamente. Ou seja, a própria fonte encarrega-se de detectar (supostamente) a tensão necessária para alimentar o portátil. Ao contrário das fontes universais com saida regulada manualmente, em que existe um selector para se escolher a tensão de saida, esta não tinha nada disso.
Resultado, como já tinha descrito anteriormente, o portátil ligava umas vezes, outras não ligava. Parecia que às vezes, a fonte não tinha a tensão adequada para ligar o portátil.
Solução: Fui ao hipermercado do elefante com um trevo na tromba

, e comprei uma fonte com saida
fixa (19V) e potência de 90W, que é suficiente para o meu portátil. E até agora, o portátil liga sempre à primeira.
Resumindo...o meu conselho é não comprar dessas fontes automáticas.